Log 6

今日進度：

SHAME ON ME!! 今天都在上網聊天打屁，偶爾參雜念一點 paper 。所以只好老梗重提整理一下將來要幹嘛好了。

首先， Yariv 原始的物理模型分別是一個一維的與三維的 Langevin euqation 。有了模型以後，要探討下列幾個課題：

1. solution in terms of the driving noise process
2. condition for stationarity
3. pdf, fdd
4. acf, spectrum

第一個課題已經解決，就是 OU-process 。第二個問題比較技術性，但是許多 paper 都有探討，原則上就是系統必須是 stable 的，且 Levy measure 必須滿足一些積分條件。此外，我對 two-sided Levy process 的概念不太明白。有另外一個研究 stationary distribution 的方式是透過 Forward equation ，不過我也不太懂。第三個部分若用 chf 來表示 pdf 的話很簡單，我在 Log 1 就提過了。但這不是 closed form ，更別提 pdf 了。最大的問題在 Levy measure 要先弄出來。同理， fdd 也是。最後一個問題是 acf 與頻譜。我認為應該不難，但是就是沒搞出來。沒別得的原因，懶加上悟性差。

在多維的情況會變的更複雜。尤其是 stationarity ， acf 與 spectrum 。

接著看進階模型。我目前查到可行的方式有 sum of independent OU 與 ARMA 。好消息是所有的模型都可以用 state-space representation 來表示：

如同上面所說的，這種 diffusion type SDE 的解、 stationarity 與 acf 都有許多 paper 與教科書討論過了。不過我還是不太熟悉就是了orz

模型探討就到此為止。有了模型之後，要找出 parameters 。這就是估計的問題。在我們的問題裡，有兩群 parameters ，分別是 Levy noise 與模型本身的係數。 Yariv 的模型使用的是 white noise ，而方程式的係數通通都由給定的系統來決定，所以只有 white noise 的 spectrum density 要決定。 Yariv 推導出 density 與系統參數之間的關係。整篇 paper 到這就算是完整了，因為作者只探討 second order 的統計特性。

估計 Levy noise 的方法有很多種。很多財務數學的 paper 都在探討這個課題。系統參數估計的問題也多有 paper 著墨。其實這些路，前人都走過了。我的工作就是把這些散佈在各處、各領域的知識串連，並應用在我要研究的題目上。然而資訊太多，且大部分的用處都不大。我真希望有這方面的專家來引導我，這樣我可以節省不少時間。不過我的 supervisor Magnus 並不是這方面的專家。他應該算是物理學家吧。我看我只能自己找出路了。

進入估計階段的時候，就代表我該去找 Gustafsson 了。他研究雷射雜訊已久，我可以跟他討論、並且得到一些觀測的資料，用來估計模型的係數。不過我還沒準備好怎麼跟他討論這些問題。 Magnus 建議我可以跟 Gustafsson 描述我提議的模型有什麼超能力，看他認為可行與否。

所以來說說我現在研究的模型有什麼本事吧！

首先，一切的出發點是 Maxwell equations 導出的波方程。從解裡面取出一個 mode ，線性化以後成為這個模型的基本形。 Yariv 假設雜訊是 white noise ，接著導出關於震幅、相位與頻率的 spectrum 。若把雜訊換成 Levy process ， spectrum 並不會改變(因為 Levy process 的 weak derivative 也是 white)，但是 process 的 distribution 會改變。這給了我們第一個好處：可以 model 輸出的分佈。應該說，在 white noise 的前提下， Levy process 能夠 model 的分佈比 Gaussian process 廣泛的許多。

此外，若我們把模型的維度增加，也就是引進 ARMA ，那麼 spectrum 便可以隨我們調整了。這樣的模型可以 model 時間軸上與機率軸上的特性。

 

明日計畫：

1. 看 Levy process 的 paper ：特性與估計方法。

2. 看 ARMA 的估計方法。