2009年3月25日 星期三

Log 16 090325

今日進度：

Larry & Scott 的 treatment 是量子的，而與 Yariv 的 treatment 是半量子半古典的。我不確定 Yariv 的作法是否完全等價於 Larry & Scott 。對我來說，要在有限的時間內完全瞭解似乎不太可能。

我決定使用 Larry & Scott 的 treatment 。因為他對每一項雜訊的來源都有仔細的交代，且各 process 的 spectrum 都有明確的推導。讓我覺得不太滿意的是電場是由輸出功率與頻率漲落拼湊出來的。我不確定這樣的 couple 是否保留的震幅與相位之間相依的關係。(應該有啦。ㄎㄎ…)

Larry & Scott 的模型其實跟 Yariv 的第二份 paper 很像。只是 state equation 不再是針對電場，而是載子與光子的 rate equation 。可觀測量為功率變化與頻率變化。

小訊號的各項變數為：
\begin{align*}N(t)&=\bar{N}+n(t)\\N_P(t)&=\bar{N_P}+n_P(t)\\P(t)&=\bar{P}+\delta P(t)\end{align*}

State equation 為：
\begin{bmatrix}\dot{n}\\\dot{n_P}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\gamma_{NN}&-\gamma_{NP}\\\gamma_{PN}&-\gamma_{PP}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}n\\n_P\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}F_N\\F_P\end{bmatrix}

Output process 為：
\begin{align*}\delta P(t)&=\eta_0\frac{V_P}{\tau_P}h\nu n_P(t)+F_0(t)\\\dot{\psi}(t)&=\frac{\alpha}{2}\Gamma v_gan(t)+F_{\psi}(t)\end{align*}

電場為：
E(t)=\left[A_0+\frac{\delta P(t)}{2A_0}\right]\exp\left[j\left(\omega_mt+\int_{-\infty}^t\dot{\psi}(s)ds\right)\right]

White noise Correlation Structure:
PP:A13.12
NN:A13.13
PN:A13.14
oo:A13.18
oP:A13.19
oN:0
psi:A13.24, 其餘 couple 為 0

 

很難解。其實跟 Yariv 第二份 paper 的難度一樣。我想到一個可行的簡化方式為：把複雜的 n 與 n_P 當作 Brownian motion-driven ， optput process 的 noise 當作 Levy process 。這樣最難解的部分就算是搞定了。如果想要研究 Levy-driven state equation 的話，切記 noise 的correlation structure 已經決定了。我猜想，形式上
<F_N,F_N>=\text{Var}[L_N(1)]
其餘以此類推。

我對於這些形式上的東西有點感冒。但又不得不承認他們很方便，而且能 gain more insight 。有時候我們需要快速前進，把嚴謹性先拋一旁，避免太多技術的細節妨礙我們宏觀的視野。

如果要探討嚴謹性的問題，有幾個 issues ： Levy process 的(弱)微分以及上面提到的 correlation 。

 

來日計畫：

解解看上面提議的簡化版。
閱讀 model 多維度 Levy process 的章節。
Erik 提供的 paper 。

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