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今日進度：

試著求二維 Brownian-driven OU 的 pdf 。雖然知道結果是 Gaussian process ，但 covariance matrix 有夠難化簡的。折騰了好一陣子決定放棄。我找不出簡單漂亮的表示法，或許我嘗試的還不夠多。

比較困擾我的問題是，輸出功率如果按照 Larry & Scott 的公式，除了光子密度以外，還要加上一個 Langevin noise 。這樣不就失去了 OU process mean-reverting 的特性了嗎？因此我對那項 Langevin noise 有點感冒。或許可以這麼解釋：那項 Langevin noise 是用來描述光子反射回腔體時造成的 partition noise ，跟光子如何被產生出來是不相關的。因此，理想的輸出功率波動是
 
考慮反射的 partition 效應，則真正輸出的功率要乘上一個小於一的係數 \eta_0 。把 partition 效應當作隨機的，因此最後加上 Langevin noise 。然而輸出功率不應該大過理想功率，所以這項雜訊不能太大。可是該如何 “控制” 雜訊，讓他不要太大呢？假設他的 pdf 有 finite support 的話，他就不可能是 white ，因為 second moment 一定有限。(我應該沒搞錯吧??)這真是莫名其妙。把 white noise 加在可觀測的量上完全不合理啊。我得好好想想。

其實 white noise 滿困擾我的。今天突然意識到 WSS process 的理論可以完全不提到機率，把 WSS process 當作 L2 space 上的 path 。更精確的說，這條 path 完全依附在半徑為 Var[X(t)] 的球面上，且滿足時間平移角度不變的特性。那要怎麼把 white noise 加進 WSS process 的理論呢？想像這個球的半徑越來越大，最終趨近於無窮大，在球面上的軌跡就是 white noise 。不過這樣講跟沒講一樣。不知道有什麼好的看法可以解決 white noise 無窮大的問題，就像 distribution theory 解決 delta function 那樣。我需要這個理論，因為我會一直碰到 Levy process 微分的運算，我不想假裝我懂了。希望我能盡快解決這個問題。

 

來日計畫：

1. 看看要怎麼處理輸出功率震盪的 Langevin noise 。暫時搞不定的話就當他不存在。然後把這對輸出 process 送進 M-PSK 裡面。我希望能夠得到 BER 與 SNR 還有 linewidth 的關係。

2. 研讀多重維度 Levy process 模擬的方法。

3. 研究 white noise。